hg S’enregistrer Bac Tunisie Algorithmique et programmation : BAC INFORMATIQUE En Tunisie forum informatique Tunisie

Bac Tunisie Algorithmique et programmation : BAC INFORMATIQUE En Tunisie  forum informatique Tunisie Index du Forum

hg Bac Tunisie Algorithmique et programmation TIC réseaux php javascript sql access activités programmation c
hg
FAQ FAQ Rechercher Rechercher Membres Membres Groupes Groupes Profil Profil Se connecter pour vérifier ses messages privés Messages Privés Connexion Connexion


 Forum de l'excellence et l'excellence en innovation 
Pour participer à notre Forum, vous devez
 
inscrire sur notre forum a partir d'ici
 
  NB :
Les membres ''zéro messages'' seront supprimés automatiquement après un nombre de jours donné !!!!
             
   
 
  
forum d'aide informatique : internet, réseau, programmation informatique ...
Suites et récurrence (S)
 
 
Poster un nouveau sujet   Répondre au sujet    Bac Tunisie Algorithmique et programmation : BAC INFORMATIQUE En Tunisie forum informatique Tunisie Index du Forum -> Mathematique -> Cour
hg Sujet précédent :: Sujet suivant   hd
Auteur Message
KARIMOS
Administrateur

Hors ligne

Inscrit le: 02 Nov 2008
Messages: 1 710
Masculin
Point(s): 5 479
Moyenne de points: 0

Posté le: Ven 30 Jan - 11:04 (2009)    Sujet du message: Suites et récurrence (S) Répondre en citant

PublicitéSupprimer les publicités ?
Vocabulaire : Nous avons vu dans le cours de première sur les suites ce qu'est une suite croissante, décroissante, monotone, majorée, minorée, bornée. Voyons maintenant ce qu'est une suite convergente et ce que sont des suites adjacentes.

Une suite convergente est une suite qui tend vers un certain nombre, appellé limite de la suite, lorsque n tend vers l'infini. C'est donc une suite u telle qu'il exite un nombre réel l tel que
. Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

Deux suites adjacentes sont deux suites, l'une croissante, l'autre décroissante, dont les termes se rapprochent lorsque n tend vers l'infini, c'est à dire telles que
.

Exemples :
- la suite définie pour tout n par
est croissante, monotone, majorée, minorée, bornée, et convergente. Elle admet pour limite 2.
- la suite définie pour tout n par
est majorée, minorée, bornée et divergente.

Remarquons qu'une suite croissante est toujours minorée par son premier terme, et une suite décroissante est toujours majorée par son premier terme. Une suite monotone peut être convergente ou divergente.


Propriétés : Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente (mais attention, leur limite n'est pas forcément égale au majorant ou au minorant).
Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et elles convergent vers la même limite.
Suite croissante majorée
Suites adjacentes


 


Suites définies par récurrence : Une suite définie par récurrence est une suite dont on donne la valeur d'un terme ainsi qu'une relation reliant son terme général d'ordre n au terme suivant d'ordre n+1. Par exemple, la suite
est définie par récurrence. Soit f la fonction qui donne
en fonction de
. Si on sait que la suite u est convergente et que la fonction f est continue en l , alors, en passant à la limite dans la relation de récurrence, on a l'égalité
. Cette équation permet généralement de calculer l.

Notons aussi que pour des suites définies de cette manière, on peut déterminer une valeur approximative des termes de la suite et conjecturer sur la convergence de la suite à l'aide d'un dessin. Traçons dans un repère orthonormé la courbe représentative de f, et sur l'axe des abscisses plaçons le permier terme
. On a
donc à l'aide de la courbe de f on peut placer sur l'axe des ordonnées le terme
. Traçons maintenant la droite d'équation y=x. En revenant depuis
sur cette droite et en descendant vers l'axe des abscisses, on reporte ainsi
sur l'axe des abscisses. On peut maintenant avec f placer
sur l'axe des ordonnées puis rapporter sa valeur sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite d'équation y=x. On peut ainsi placer plusieurs termes de la suite sur l'axe des abscisses et deviner la limite de la suite.





Raisonnement par récurrence : Le raisonnement par récurrence est un type de raisonnement qui permet de démontrer qu'une propriété qui dépend d'un entier naturel n est vraie pour tout entier naturel n. Par exemple si on doit démontrer que
est toujours un multiple de 3, on utilise généralement un raisonnement par récurrence. Un raisonnement par récurrence se décompose en 4 étapes.


1. On pose
="la propriété que l'on veut démontrer", par exemple ici on posera



2. On montre que
est vraie. C'est généralement assez simple. Ici
est vraie car
et 0 est un multiple de 3.


3. On montre que pour tout nombre n, si
est vraie, alors
est encore vraie. C'est l'étape la plus difficile. Pour rédiger la solution on écrit donc pour notre exemple : "Soit n un nombre entier naturel. Supposons que
soit vraie.". On doit montrer que
est encore vraie, c'est à dire que
est un multiple de 3.
 

est bien sur un multiple de 3.
est un multiple de 3 car
est vraie. La somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3, donc
est un multiple de 3, donc
est un multiple de 3, donc
est vraie.


4. On conclut. Vu que
est vraie, et que pour tout n,
, on a
, donc
est vraie,
donc
est vraie, etc... et donc du coup
est vraie pour tout n. Pour rédiger on écrit juste "Par principe de récurrence,
est vraie pour tout n".


 
Revenir en haut
Contenu Sponsorisé






Posté le: Aujourd’hui à 14:42 (2016)    Sujet du message: Suites et récurrence (S)

 
Revenir en haut
Montrer les messages depuis:   
bg bd
Poster un nouveau sujet   Répondre au sujet    Bac Tunisie Algorithmique et programmation : BAC INFORMATIQUE En Tunisie forum informatique Tunisie Index du Forum -> Mathematique -> Cour Toutes les heures sont au format GMT + 1 Heure
 
Page 1 sur 1

 
Sauter vers:  
Index | créer forum gratuit | Forum gratuit d’entraide | Annuaire des forums gratuits | Signaler une violation | Conditions générales d'utilisation